सिद्ध कीजिये कि निम्न प्रकार परिभाषित फलन ` x = 0 ` पर सतत नहीं है -
` f ( x ) {{:( ( e ^ (1//x))/( 1 + e ^( 1//x))",",, "यदि " x ne 0 ), ( 0",",, "यदि " x = 0 ):}`

Explanation

फलन की बायीं सीमा ` = lim _ ( x to 0 ^(- )) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 - h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) (e ^ ((1)/(( 0 - h))) )/( 1 + e ^((1)/((0-h)))) = lim _( hto 0 ) ( e ^( -1//h))/(1 + e ^( -1//h)) `
` = lim _ ( hto 0 ) (1) /( e ^(1//h) + 1) = 0 `
इसी प्रकार
फलन की दायीं सीमा ` = lim _ ( x to 0 ^(+)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) `
` = lim_ ( hto 0 ) ( e^((1) /((0 +h))))/( 1 + e ^((( 1 ) /( 0 + h)) )) = lim _ ( h to 0 ) ( e ^( 1 //h))/( 1 + e ^(1//h)) `
`= lim _ ( h to 0 ) ( 1 ) /( 1 + e ^(- 1//h)) = (1)/( 1 + 0 ) = 1 `
स्पष्टतः बायीं सीमा ` ne ` दायीं सीमा
अतः फलन ` f ( x )` , दिए गए बिंदु ` x = 0 ` पर सतत नहीं है |