फलन f के असांतत्यता के सभी बिंदुओं को ज्ञात कीजिये -
जहाँ ` f ( x ) = {{:(|x| = 3",",,"if " x le - 3) , ( - 2x",",,"if " - 3 lt xlt 3 ) , ( 6x + 2",",,"if " x ge 3):}`

Explanation

यदि ` x le - 3 ` तब `|x| = - x ` `( because |x| =-x ` यदि ` x lt 0 ) ` इसलिए फलन ` f(x) ` को निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है -
` f (x) = {{:( - x + 3,",","यदि " x le - 3), ( - 2x,",","यदि " -3lt xlt 3),(6x + 2,",","यदि " x ge 3 ):}`
`rArr f(x) ` की सांतत्यता की जाँच ` x = - 3 ` व ` x = 3 ` पर करनी है |
बिंदु `x = - 3 ` पर सांतत्यता :
` f ( x ) = - x+ 3 ` यदि ` x le - 3 `
`rArr f ( -3) = - ( -3) + 3= 6 `
बायीं सीमा : यदि ` x lt - 3 ` तब ` f(x) = - x + 3 `
` therefore lim _ ( x to -3^-) f (x) = lim _ ( x to -3^-) ( - x + 3 ) = - ( - 3 ) + 3 = 6 `
दायीं सीमा : जब ` x gt - 3 ` तब ` f ( x ) = - 2x`
` therefore lim _ ( x to - 3 ^+) f ( x ) = lim _ ( xto - 3 ^+) ( - 2 x ) = - 2 ( - 3 ) = 6 `
स्पष्ट है कि
`lim _ ( x to - 3 ^( - ) ) f ( x ) = lim _ ( x to - 3 ^+) f ( x ) = f ( - 3 ) `
`rArr f ( x ) `, बिंदु ` x = - 3 ` पर सतत है |
बिंदु ` x = 3 ` पर सांतत्यता
दिया है, ` f ( x ) = 6x + 2` यदि `x ge 3 `
` rArr f ( 3 ) = 6 xx 3 + 2 = 20 `
अब ` lim _ ( x to 3^-)f ( x) = lim _ ( x to 3^-) ( - 2 x ) = - 6 `
तथा ` lim _ ( x to 3 ^+) f ( x ) = lim _ ( x to 3 ^+) ( 6 x + 2 ) = 20 `
` rArr lim _ ( x to 3^-) f ( x ) ne f (3) `
`rArr ` फलन ` f ( x)` , बिंदु ` x = 3 ` पर सतत नहीं है |
`rArr ` फलन ` f (x) ` का असांतत्यता बिंदु ` x = 3 ` है |