यदि ` f ( x ) = | x - 1 | + | x + 2 | ` , जहाँ x कोई वास्तविक संख्या है , तो सिद्ध कीजिये कि फलन ` f ( x ), x = 1 ` तथा `x = - 2 ` पर सतत है |

Explanation

x = 1 पर दक्षिण पक्ष सीमा
दिया है :
` f(x) = | x - 1| + |x + 2 | `
` rArr f ( x + h ) = | x + h - 1 | + | x + h + 2 | `
` rArr f ( 1 + h ) = | 1 + h - 1 | + | 1 + h+ 2 | `
` rArr lim _ ( h to 0 ) f ( 1 + h ) = lim _ ( h to 0 ) [ |h| + | 3 + h| ] `
` = |0| + | 3 + 0 | = 3 `
` x = 1 ` पर वाम पक्ष सीमा
यहाँ ` f ( 1 - h ) = | 1 - h - 1 | + | 1 - h + 2 | `
` = | - h | + | 3 - h | `
` therefore lim _ ( h to 0 ) f ( 1 - h ) = lim _ ( h to 0 ) [|h| + | 3 - h |] `
` =|0| + | 3 -0 | `
` = 3 `
` rArr ` दक्षिण पक्ष सीमा = वाम पक्ष सीमा
तथा ` f ( 1 ) = | 1- 1 | + |1 + 2 | `
` = | 0| + | 3| = 3 `
इस प्रकार ` lim _ ( h to 0 ) f ( 1 + h ) = lim _ ( h to 0) f ( 1 - h ) = f ( 1 ) `
अतः फलन ` f ( x ) , x = 1 ` सतत है |
अब
` x = - 2 ` पर वाम पक्ष सीमा
` f ( - 2 - h ) = | - 2 - h - 1 | + | - 2 - h + 2 | `
` = | - 3 - h | + | - h | `
` therefore lim _ ( h to 0 ) f ( - 2 - h ) = lim _ ( hto 0 ) | 3 + h | + |h| `
` = | 3 + 0 | + |0| `
= 3
` x = - 2 ` पर दक्षिण पक्ष सीमा
` f ( - 2 + h ) = | - 2 + h - 1 | + | - 2 + h + 2 | `
` = | h - 3| + |h| `
` therefore lim _ ( hto 0 ) f ( - 2 + h ) = lim _ ( hto 0 ) | h - 3 | + |h| `
` = | - 3| + |0| = 3 `
तथा ` f ( - 2 ) = | - 2 - 1| + | - 2 + 2 | `
` = | - 3| + |0|= 3 `
` rArr f ( - 2 ) = lim _ ( h to 0 ) f ( - 2 + h ) = lim _ ( h to 0 ) f ( - 2 - h ) `
` therefore ` फलन ` f ( x ), x = - 2 ` पर भी सतत है |