वक्र `y=sin x` पर मूल बिन्दु से स्पर्शियाँ खींची जाती हैं | सिद्ध कीजिये कि स्पर्श बिन्दु वक्र `x^(2)y^(2)=x^(2)-y^(2)` पर स्थित है |

Explanation

माना मूल बिन्दु से वक्र y = sin x पर खींची गई स्पर्शियों का स्पर्श बिन्दु `(x_(1),y_(1))` है| स्पष्टत: यह बिन्दु वक्र पर स्थित होगा, अत: `" "y_(1)=sin x_(1)" "…(1)`
वक्र y = sin x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`(dy)/(dx)=cos x`
`:." ""बिन्दु "(x_(1),y_(1))` पर स्पर्शी की ढाल, यदि m है तो
`m=((dy)/(dx))_((x_(1),y_(1))=cos x_(1)`
`:.` वक्र पर स्थित बिन्दु `(x_(1),y_(1))` पर खींची गई स्पर्शी का समीकरण
`y-y_(1)=cos x_(1)(x-x_(1))" "...(2)`
`because` स्पर्शी (2) मूल बिन्दु से जाती है, अत:
`0-y_(1)=cos x_(1)(0-x_(1))`
`implies" "y_(1)=x_(1) cos x_(1)`
`:." "cos x_(1)=(y_(1))/(x_(1))" "...(3)`
`because" "cos^(2)x_(1)+sin^(2)x_(1)=1`
`implies" "(y_(1)^(2))/(x_(1)^(2))+y_(1)^(2)=1" "("समीकरण (1) व (3) से")`
`implies" "y_(1)^(2)+x_(1)^(2)y_(1)^(2)=x_(1)^(2)`
`implies" "x_(1)^(2)y_(1)^(2)=x_(1)^(2)-y_(1)^(2)`
अत: स्पर्श बिन्दु `(x_(1),y_(1))` का पथ
`x^(2)y^(2)=x^(2)-y^(2)`