यदि वक्र `sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)` के किसी बिन्दु पर स्पर्शी OX तथा OY को क्रमश: P तथा Q पर कटती है, तब सिद्ध कीजिए कि- `OP+OQ=a`

Explanation

माना `R(x_(1),y_(1))` वक्र
`sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)" "…(1)`
पर स्थित कोई बिन्दु है, अत:
`sqrt(x_(1))+sqrt(y_(1))=sqrt(a)" "…(2)`
समीकरण (1) से,
`(1)/(2sqrt(x))+(1)/(2sqrt(y))(dy)/(dx)=0implies(dy)/(dx)=-sqrt((y)/(x))`
`:.R(x_(1),y_(1))` पर स्पर्शी की प्रवणता `m=-sqrt(((y_(1))/(x_(1))))`

वक्र पर स्थित बिन्दु `R(x_(1),y_(1))` पर खींची गई स्पर्शी का समीकरण
`y-y_(1)=-sqrt((y_(1))/(x_(1)))(x-x_(1))" "...(3)`
स्पर्शी (3) x-अक्ष को काटेगी यदि y = 0
अत: `-y_(1)=-sqrt((y_(1))/(x_(1)))(x-x_(1))impliesx=x_(1)+sqrt(x_(1)y_(1))`
अर्थात `" "OP=x_(1)+sqrt(x_(1)y_(1))" "...(4)`
स्पर्शी (3) y-अक्ष को काटेगी यदि x = 0
`implies" "y-y_(1)=-sqrt((y_(1))/(x_(1)))(0-x_(1))`
`implies" "y=y_(1)+sqrt(x_(1)y_(1))`
अर्थात `" "OQ=y_(1)+sqrt(x_(1)y_(1))" "...(5)`
समीकरण (4) व (5) का योग करने पर
`OP+OQ=x_(1)+y_(1)+2sqrt(x_(1)y_(1))`
`=(sqrt(x_(1))+sqrt(y_(1)))^(2)=(sqrt(a))^(2)" "("समीकरण (2) से")`
`:. OP+OQ=a`