वक्र `x^(2)+y^(2)-4x-1=0` तथा
वक्र `x^(2)+y^(2)-2y-9=0` का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिये |

Explanation

सर्वपर्थम हम वक्रों का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करेंगे | प्रदत्त वक्र निम्नवत हैं -
`x^(2)+y^(2)-4x-1=0" "…(1)`
`x^(2)+y^(2)-2y-9=0" "…(2)`
समीकरण (2) को (1) में से घटाने पर,
`2y-4x+8=0`
`implies" "y=2x-4" "...(3)`
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`x^(2)+(2x-4)^(2)-4x-1=0`
`implies" "x^(2)+4x^(2)+16-16x-4x-1=0`
`implies" "x^(2)-4x+3=0`
`implies" "(x-1)(x-3)=0`
`implies" "x=1" तथा "x=3`
`:.` समीकरण (3) में यदि x = 1 तब `y=2-4=-2` अत: प्रतिच्छेद बिन्दु (1,-2) है
यदि x = 3 तब समीकरण (3) से, `y=6-4=2`
अत: प्रतिच्छेद बिन्दु (3,2) है |
अत: दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु (1,-2) तथा (3,2) हैं |
वक्र (1) से, `" "2x+2y(dy)/(dx)-4=0`
`implies" "(dy)/(dx)=(2-x)/(y)" "...(4)`
वक्र (2) से, `2x+2y(dy)/(dx)-2(dy)/(dx)=0`
`implies" "(dy)/(dx)=(x)/(1-y)" "...(5)`
बिन्दु (1,-2) पर वक्र (1) की प्रवणता
`m_(1)=(2-1)/(-2)=(-1)/(2)" "("समीकरण (4) से")`
बिन्दु (1,-2) पर वक्र (2) की प्रवणता
`m_(2)=(1)/(3)" "("समीकरण (5) से")`
यदि वक्रों (1) व (2) का बिन्दु (1,-2) पर प्रतिच्छेद कोण `phi_(1)` है, तब
`tan phi_(1)=+-(-(1)/(2)-(1)/(3))/(1+(-(1)/(2))((1)/(3)))=-+(-5//6)/(5//6)=+-1`
`:.` बिन्दु (1,-2) पर वक्रों के मध्य न्यूनकोण
`=tan^(-1)1=45^(@)`
पुन: बिन्दु (3,2) पर वक्र (1) की प्रवणता
`m_(1)=(2-3)/(2)=-(1)/(2)" "("समीकरण (4) से")`
बिन्दु (3,2) पर वक्र की प्रवणता
`m_(2)=(3)/(1-2)=-3" "("समीकरण (5) से")`
बिन्दु (3,2) पर यदि वक्रों (1) व (2) को प्रतिच्छेद कोण `phi_(2)` है, तब
`tan phi_(2)=+-(-(1)/(2)-(-3))/(1+(-(1)/(2))(-3))=+-(5//2)/(5//2)=+-1`
अत: वक्रों (1) व (2) का बिन्दु (3,2) पर न्यूनकोण
`=tan^(-1)1=45^(@)`
अत: वक्रों (1) व (2) का प्रतिच्छेद कोण `45^(@)` है |