सिद्ध कीजिये कि वक्र `x^(3)-3xy^(2)=a` तथा `3x^(2)y-y^(3)=b` एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं |

Explanation

प्रदत्त वक्र `" "x^(3)-3xy^(2)=a" "…(1)`
तथा `" "3x^(2)y-y^(3)=b" "…(2)`
माना वक्रों (1) व (2) का प्रतिच्छेद बिन्दु `(x_(1),y_(1))` है, समीकरण (1) से,
`3x^(2)-3[y^(2)+2xy(dy)/(dx)]=0implies(dy)/(dx)=(x^(2)-y^(2))/(2xy)`
`:." "((dy)/(dx))_((x_(1),y_(1)))=(x_(1)^(2)-y_(1)^(2))/(2x_(1)y_(1))=m_(1)" "("माना")" "...(3)`
समीकरण (2) से,
`3[2xy+x^(2)(dy)/(dx)]-3y^(2)(dy)/(dx)=0`
`implies" "(y^(2)-x^(2))(dy)/(dx)=2xy`
`implies" "(dy)/(dx)=(-2xy)/(x^(2)-y^(2))`
`:." "((dy)/(dx))_((x_(1),y_(1)))=(-2x_(1)y_(1))/(x_(1)^(2)-y_(1)^(2))=m_(2)("माना")" "...(4)`
समीकरण (3) व (4) से,
`because" "m_(1).m_(2)=((x_(1)^(2)-y_(1)^(2))/(2x_(1)y_(1)))[(-2x_(1)y_(1))/(x_(1)^(2)-y_(1)^(2))]=-1`
अत: वक्र (1) व (2) एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं |