यदि वक्र `x^(2//3)+y^(2//3)=a^(2//3)` का अभिलम्ब x-अक्ष से `phi` कोण बनाये तब सिद्ध कीजिये कि इसका समीकरण `y cos phi-x sin phi=a cos 2phi` है |

Explanation

माना `P(x_(1),y_(1))` वक्र `x^(2//3)+y^(2//3)=a^(2//3)" "…(1)`
पर स्थित कोई बिन्दु है जिस पर खींचा गया अभिलम्ब PN x-अक्ष के साथ `phi` कोण बनाता है | (चित्र 10.7) स्पष्ट है कि वक्र के बिन्दु P पर खींची गई स्पर्शी PT,x-अक्ष के साथ `(90^(@)+phi)` का कोण बनायेगी, अर्थात स्पर्शी की प्रवणता `tan(90^(@)+phi)=-cot phi` होगी |
`implies" "(dy_(1))/(dx_(1))=-cot phi`

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(2)/(3)x^(-1//3)+(2)/(3)y^(-1//3)(dy)/(dx)=0`
`implies" "(dy)/(dx)=-((x)/(y))^(-1//3)=-((y)/(x))^(1//3)`
`implies" "((dy)/(dx))_((x_(1)","y_(1)))=-((y_(1))/(x_(1)))^(1//3)`
परन्तु `((dy)/(dx))_((x_(1)","y_(1)))=-cot phi`
`:." "-((y_(1))/(x_(1)))^(1//3)=-cot phi`
`implies" "((y_(1))/(x_(1)))^(1//3)=(cos phi)/(sin phi)implies(y_(1))/(x_(1))=(cos^(3)phi)/(sin^(3)phi)`
`implies" "(y_(1))/(cos^(3)phi)=(x_(1))/(sin^(3)phi)=a("माना")`
`implies" "x_(1)=asin^(3)phi" तथा "y_(1)=acos^(3)phi`
`:.P(x_(1),y_(1))` पर खींचे गये अभिलम्ब का समीकरण
`y-acos^(3)phi=tan phi(x-a sin^(3)phi)`
(`because` अभिलम्ब की प्रवणता `tan phi` है)
`cos phi(y-a cos^(3)phi)=sin phi(x-a sin^(3)phi)`
`implies" "ycosphi-xsinphi=a(cos^(4)phi-sin^(4)phi)`
`=a(cos^(2)phi-sin^(2)phi)(cos^(2)phi+sin^(2)phi)`
`implies" "y cos phi-x sin phi=a cos 2phi`
अत: अभीष्ट अभिलम्ब का समीकरण
`y cos phi-x sin phi=a cos 2 phi` है |