सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो वक्र `x=3t^(2),y=2t^(3)` के एक बिन्दु पर स्पर्श रेखा है तथा दूसरे बिन्दु पर अभिलम्ब है |

Explanation

माना वह सरल रेखा बिन्दु `A(3t^(2),2t^(3))` पर स्पर्श रेखा तथा बिन्दु `B(3t_(1)^(2),2t_(1)^(3))` पर अभिलम्ब है |
`:. ` A पर स्पर्श रेखा का झुकाव `=(dy)/(dt)//(dx)/(dt)=t`
इसका समीकरण `y-2t^(3)=t(x-3t^(2))`
`implies" "y=tx-t^(3)" "...(1)`
अब, बिन्दु B पर अभिलम्ब का झकाव `=-(1)/(t_(1))`
प्रश्नानुसार, ये समान रेखा को निरूपित करती है, तब
`t=-(1)/(t_(1))impliestt_(1)=-1`
अब, बिन्दु A पर स्पर्श रेखा
`tx-y-t^(3)=0`
`because` यह बिन्दु B से गुजरती है
`:." "t.3t_(1)^(2)-2t_(1)^(3)-t^(3)=0`
`implies" "3t_(1)^(2)(t-t_(1))-(t^(3)-t_(1)^(3))=0`
`" "[t_(1)^(3)" जोड़ने व घटाने पर"]`
`implies" "3t_(1)^(2)(t-t_(1))-(t-t_(1))(t^(2)+tt_(1)+t_(1)^(2))=0`
`implies" "(t-t_(1))(3t_(1)^(2)-t^(2)-tt_(1)-t_(1)^(2))=0`
`implies" "(t-t_(1))(2t_(1)^(2)-tt_(1)-t^(2))=0`
`implies" "(t-t_(1))(t_(1)-t)(2t_(1)+t)=0`
`implies" "t=-2t_(1)=-2xx(-1)/(t)`
`implies" "t^(2)=2impliest=+-sqrt(2)`
समीकरण (1) में t का मान रखने पर, सरल रेखा का समीकरण
`y=+-sqrt(2)(x-2)`