फलन `x^(3) - 2x^(2) + x + 6` का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान क्रमशः ज्ञात कीजिये ।

Options

A. 64/27 , 6
B. 6 , 64/27
C. 1,0
D. -1 ,1

Answer

A

Explanation

माना
`y`` = x^(3) - 2x^(2) ``+ x + 6` ` ...(1)`

` :. (dy)/(dx) ``= 3x^(2) - 4x`` + 1` `...(2)`

`(d^(2)y)/(dx^(2))`` = 6x - 4`` ...(3)`

उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये

` (dy)/(dx) = 0`

` rArr 3x^(2)- 4x + 1 ``= 0`
[समीकरण (2 ) से ]

` 3x^(2) - 3x - x + 1`` = 0`
` rArr 3x(x-1) ```- (x-1)` = 0`
` rArr (x-1)(3x-1) ``= 0`

` rArr x = 1 `
या `x = 1/3`

x = 1 पर ,

`((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x=1) ``= 6 xx 1 - 4 `

`" "= 2`(धन राशि )

अतः x = 1 पर फलक निम्निष्ठ है

` x = 1/3` पर

, `((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x=1/3) ``= 6 xx 1/3 - 4`

`" "= - 2` (ऋण राशि )

अतः `x = 1/3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।

फलक का निम्निष्ठ मान
समीकरण (1) में x = 1 रखने पर ,

` y =`
` (1)^(3) - 2 (1)^(2) + 1 + 6 `
`= 1 - 2 + 1 +6`
` = 6`

फलक का उच्चिष्ठ मान
समीकरण (1) में ` x = 1/3` रखने पर
` y =`

` (1/3)^(3) - 2 (1/3)^(2) + 1/3 + 6`

` = (1-6+9+162)/27 `

`= 166/27`

` = 6 4/27`

फलक का निम्निष्ठ मान = 6,

फलक का उच्चिष्ठ मान =` 64/27`