सिद्ध किजिये कि फलक `x^(5) - 5x^(4) + 5x^(3) - 1` का मान x =1 पर उच्चिष्ठ है तथा x = 0 पर न उच्चिष्ठ है और न निम्निष्ठ है ।

Explanation

माना ` y = x^(5) - 5x^(4) + 5x^(3) - 1 ` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = 5x^(4) - 20x^(3) + 15 x ^(2) ` ..(2)
तथा ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 20 x ^(3) - 60x^(2) + 30 x ` ..(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मानके लिये
` (dy)/(dx) = 0 rArr 5x^(2) ( x^(2) - 4x + 3 ) = 0`
` rArr x = 0 ` या ` x ^(2) - 4x + 3 = 0`
` rArr x^(2) - 3x - x + 3 = 0`
`rArr x ( x - 3 ) - (x - 3) = 0`
` :. x = 1 ` या ` x = 3`
फलक का उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान x = 0 पर , समीकरण (3) से
` ((d^(2) y)/(dx^(2)))_(x = 0 ) = 0 - 0 + 0 = 0`
तब ` ((d^(3)y)/(dx^(3)))_(x = 0 ) = 60 xx 0 - 120 xx 0 + 30 = 30 ne 0 `
` :. ((d^(2) y)/(dx^(2))) _(x = 0) = 0 "तथा " ((d^(3)y)/(dx^(3))) _(x = 0 ) ne 0 `
` :. x = 0` पर फलक न उच्चिष्ठ है और न ही निम्निष्ठ है ।
x = 1 पर
` ((d^(2)y)/(dx^(2)))_(x = 1) = 20 xx (1)^(3) - (60)(1)^(2) + 30 xx 1 = - 10`
(ऋण राशि )
` :. x = 1` पर फलक उच्चिष्ठ है ।