फलक `(x-1)(x-2)(x-3)` का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Explanation

माना ` y = (x -1)(x - 2)(x - 3)` ...(1)
` (dy)/(dx) = (x - 2) (x - 3) + ( x - 1) ( x - 2) `
या ` (dy)/(dx) = 3x^(2) - 12x + 11 ` ..(2)
तथा ` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6x - 12` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 3 x^(2) - 12 x + 11 = 0`
` rArr x = (12 pmsqrt( 144 - 132))/6 = (12 pm 2 sqrt3)/6`
` rArr x = 2 pm 1/sqrt3 rArr x = 2 + 1/sqrt3 "या " x = 2 - 1/sqrt3`
` x = 2 + 1/sqrt3 ` पर , समीकरण (3) से ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6 (2 + 1/sqrt3) - 12 = 2 sqrt3 ` (धन )
अतः ` x = 2 + 1/sqrt3` पर फलक निम्निष्ठ है ।
` x = 2 - 1/sqrt3` पर , समीकरण (3) से
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 6 (2 - 1/sqrt3) - 12 = - 2 sqrt 3 ` (ऋण )
अतः ` x = 2 - 1/sqrt3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
अतः समीकरण (1) में ` x = 2 - 1/sqrt3` रखने पर
फलक का उच्चिष्ठ मान ,
` y = (2 - 1/sqrt3 - 1) (2 - 1/sqrt3 - 2) (2 - 1/sqrt3 - 3)`
` = (1 - 1/sqrt3 ) (-1/sqrt3)(-1-1/sqrt3) = 2/(3sqrt3)`
अतः फलक का उच्चिष्ठ मान ` 2/(3sqrt3)`है ।