सिद्ध कीजिये कि `(1/x)^(x)` का उच्चिष्ठ मान `(e)^(1//e)`है ।

Explanation

माना ` y = (1/x)^(x)`...(1)
` :. log y = x log 1/x = x log x^(-1)`
या ` log y = - x log x `
` :. 1/y (dy)/(dx) = - [x * 1/x + log x * 1 ]`
या ` 1/y (dy)/(dx) = - (1 + log x ) rArr (dy)/(dx) = - y (1 + log x )` ...(2) ltbr तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = - [(1 + log x ) (dy)/(dx) + y (0 + 1/x)]`
` rArr (d^(2)y)/(dx^(2)) = - [(1 + log x ) (dy)/(dx) + y/x]` ...(3)
y के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` - y (1 + log x ) = 0 rArr y = 0`
या ` 1 + log x = 0 rArr log x = - 1`
` :. x = e^(-1) = 1/e`
समीकरण (3) में , ` x = 1/e` रखने पर
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - [0+ey]`= ऋण राशि
अतः ` x = 1/e` पर फलक का मान उच्चिष्ठ है ।
अतः समीकरण (1) से ,
फलक का उच्चिष्ठ मान ` x = 1/e`रखने पर ` y = (e)^(1//e)`