सिद्ध कीजिये कि ` x/(1 + x tan x) ` का मान उच्चिष्ठ है यदि ` x = cos x `

Explanation

फलक `x/(1 + x tan x )` उच्चिष्ठ होगा यदि इसका व्युत्क्रम अर्थात ` (1 + x tan x)/x` निम्निष्ठ है ।
माना ` y = 1/x + tan x ` ...(1)
` (dy)/(dx) = - 1/x^(2) + sec^(2) x ` ...(2)
तथा ` (d^(2) y)/(dx^(2)) = 2/x^(3) + 2 sec^(2) x tan x` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये `(dy)/(dx) = 0`
` rArr - 1/x^(2) + sec^(2) x = 0 " " rArr sec^(2) x = 1/x^(2)`
` rArr cos^(2) x = x^(2) " " rArr x = cos x`
समीकरण (3) में ` x = cos x ` रखने पर ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = 2/(cos^(3) x) + 2 sec^(2) x tan x`
` = 2 sec^(2) x (sec x + tan x ) `
यह राशि धन राशि है अतः ` x = cos x ` पर yमान निम्निष्ठ है
अतः इस फलक का व्युत्क्रम अर्थात प्रदत्त फलक ` x = cos x ` पर उच्चिष्ठ है ।