फलक `(x + sin 2 x), (0 lt x lt 2 pi)` के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Explanation

माना ` y = x + sin 2 x` ...(1)
` :. (dy)/(dx) = 1 + 2 cos 2x ` ...(2)
तथा `(d^(2)y)/(dx^(2)) = - 4 sin 2 x ` ...(3)
फलक के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ,`(dy)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` cos 2 x = - 1/2`
` rArr 2x = 120^(@) "या " 240^(@)`
` rArr x = 60^(@) "या " 120^(@) = pi//3 "या " (2pi)/3`
` x = pi//3` पर ,
` (d^(2)y)/(dx^(2)) = - 4 sin. (2pi)/3 = - 4 sin. (pi - pi//3)`
` = - 4 sin pi//3 = - 2 sqrt3` (ऋण राशि )
अतः ` x = pi //3` पर फलक उच्चिष्ठ है ।
फलक का उच्चिष्ठ मान , समीकरण (1) में ` x = pi//3` रखने पर
` y = pi/3 + sin. (2pi)/3 = pi/3 + sqrt3/2 = (2pi+3sqrt3)/6`
पुनः ` x = (2pi)/3` पर ,
` (d^(2) y)/(dx^(2)) = - 4 sin. (4pi)/3 = - 4 sin (pi + pi/3)`
` = 4 sin pi //3 = 2 sqrt3` (धन राशि )
अतः ` x = (2pi)/3` पर फलक का मान निम्निष्ठ है अतः फलक का निम्निष्ठ मान समीकरण (1) से
` y = (2pi)/3 + sin. (4pi)/3 = (2pi)/3 - sin. pi/3= (4pi - 3 sqrt3)/6`
अतः फलक का उच्चिष्ठ मान ` = (2pi + 3 sqrt3)/6`
तथा निम्निष्ठ मान ` = (4pi - 3 sqrt3)/6`