यदि x + y = a तब फलन `xy^(2)` का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिये ।

Explanation

` :' x + y = a rArr y = a - x `
माना ` z = xy^(2) rArr z = x (a - x)^(2) ` ...(1)
` :. (dz)/(dx) = (a -x)^(2) + 2x (a - x)(-1)`
` rArr (dz)/(dx) = (a - x)(a -3x)` ....(2)
तथा ` (d^(2)z)/(dx^(2)) = - (a - 3x) - 3 (a -x) `
` = - [a - 3x + 3a - 3x]`
` (d^(2)z)/(dx^(2)) = - [4a - 6x]` ....(3)
z के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dz)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (3) से ,
x = a पर,` (d^(2)z)/(dx^(2)) = - [4a - 6a] = 2a` (धन राशि )
अतःx = a पर फलन निम्निष्ठ है ।
` x = a//3"पर ," (d^(2)z)/(dx^(2)) = - [4a - (6a)/3]=-2a` (ऋण राशि )
अतः x = a /3 पर फलन उच्चिष्ठ है । अतः फलन का उच्चिष्ठ मान ( समीकरण (1) से )
` z = a/3 (a - a/3)^(2) = a/3 ((2a)/3)^(2) = (4a^(3))/27`
अतः फलन का उच्चिष्ठ मान ` (4a^(3))/27`है ।