एक लंबवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (slant height) दी हुई है सिद्ध कीजिये कि जब शंकु का आयतन महत्तम है तब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `tan^(-1)(sqrt2)` होगा ।

Explanation

माना ABC अभीष्ट शंकु है जिनकी तिर्यक ऊँचाई AB = l ( दी हुई है ।)
माना शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `angleOAB = alpha`,
माना आधार की त्रिज्या
OB = r
तथा ऊँचाई OA = h
अतः `r/l = sin alpha rArr r = l sin alpha`
तथा `(OA)/(AB) = cos alpha`
` rArr OA = h = l cos alpha`
यदि शंकु का आयतन V है तब
` V = 1/3 pi r^(2) h` (सूत्र )
` = 1/3 pi l^(2) sin^(2) alpha l cos alpha `
` V = 1/3 pi l ^(3) sin^(2) alpha cos alpha ` ...(1)
`alpha`के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dV)/(d alpha) = 1/3 pi l^(3) [2 sin alpha cos ^(2) alpha - sin ^(3) alpha]` ...(2)
तथा `(d^(2)V)/(dalpha^(2))`
` = 1/3 pi l^(3) [2 cos^(3) alpha - 4 sin^(4) alpha - 3 sin^(2) alpha cos alpha]`
` = 1/3 pi l ^(3) [ 2 cos^(3) alpha - 7 sin^(2) alpha cos alpha]` ...(3)
आयतन 'V' के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ` (dV)/(dalpha) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 1/3 pi l ^(3) sin alpha [2 cos^(2) alpha - sin^(2) alpha] = 0`
` rArr sin alpha = 0 rArr alpha = 0 `( असंभव )
` :. 2 cos ^(2) alpha - sin^(2) alpha = 0 "या " tan^(2) alpha = 2`
या ` tan alpha = sqrt2 rArr alpha = tan^(-1) sqrt2`
`alpha = tan^(-1) sqrt2 ` पर ,
` (d^(2)V)/(d alpha^(2)) = 1/3 pi l^(3) [2/(3sqrt3)-(2 xx 7)/(3sqrt3)] = - (4 pi l^(3))/(3 sqrt3)` ( ऋण राशि )
अतः शंकु का आयतन महत्तम होगा यदि शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `tan^(-1)sqrt2` है ।