सिद्ध कीजिये कि दिये हुए सम्पूर्ण पृष्ठ तथा महत्तम आयतन के लम्ब - वृत्तीय बेलन कि ऊँचाई उसके आधार के व्यास के बराबर होगी ।

Explanation

माना बेलन की आधार त्रिज्या r तथा ऊँचाई h है ।
यदि बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ S है, तब
` S = 2pi r h + 2 pi r^(2) ` ...(1)
( सम्पूर्ण पृष्ठ S दिया है )
बेलन का आयतन यदि V है
तब `V = pi r^(2) h ` ...(2)
समीकरण (1) से ,
` h = (S - 2pi r^(2))/(2 pi r)`
` rArr h = S/(2 pi r) - r`
अतः समीकरण (2) से ,
` V = pi r^(2) (S/(2 pi r) - r) = (Sr)/2 - pi r^(3) `
` rArr V = (Sr)/ 2 - pi r ^(3) `
` :. (dV)/(dr) = S/2 - 3 pi r^(2) ` ...(3)
तथा `(d^(2)V)/(dr^(2)) = - 6 pi r ` ...(4)
'V' के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये `(dV)/(dr) = 0`
अतः समीकरण (3) से ,
` 3 pi r ^(2) = S/2 `
` rArr 6 pi r^(2) = S`
` rArr 6 pi r^(2) = 2 pi r h + 2 pi r ^(2) ` [समीo (1) से ]
` rArr 2 pi rh = 4 pi r^(2) `
` rArr h = 2r`
` rArr r = h // 2`
समीकरण (4 ) से ,
` ((d^(2)V)/(dr^(2)))_(r = h//2) = 3 pi h` (ऋण राशि )
अतः बेलन का आयतन महत्तम है यदि बेलन की ऊँचाई उसके आधार के व्यास बराबर है ।