सिद्ध कीजिये कि एक गोले के अंतर्गत , जिसकी त्रिज्या है , उच्चतम आयतन के बने बेलन की ऊँचाई `(2 a)/(sqrt3)` है ।

Explanation

माना बेलन की आधार त्रिज्या r तथा ऊँचाई BC = x
गोले की त्रिज्या a है । अतः व्यास
AC = 2a,
समकोण `Delta ABC` में ,
` (AC)^(2) = (AB)^(2) + x^(2)`
` rArr 4a^(2) - x^(2) = 4r^(2)`
` rArr r^(2) = (4a^(2) - x^(2))/4 ` ...(1)
यदि बेलन का आयतन V है तब ,
`V = pi ((4a^(2) - x^(2))/4) x rArr V = pi/4 (4a^(2) x-x^(3)) ` .....(2)
दोनों पक्षों का xके सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dV)/(dx) = pi/4 (4a^(2) - 3x^(2))` ...(3)
तथा `(d^(2)V)/(dx^(2)) = pi/4 (0 - 6x) = - 3/2 pi x ` .....(4)
आयतन के उच्चिष्ठ अथवा निमनिष्ठ मान के लिये
` (dV)/(dx) = 0`,
अतः समीकरण (3) से , ` pi/4 (4a^(2) - 3x^(2)) = 0`
` rArr x^(2) = (4a^(2))/3 rArr x = (2a)/sqrt3`
` x = (2a)/(sqrt3) "पर , " (d^(2)V)/(dx^(2)) = - 3/2 pi xx (2a)/sqrt3 = - sqrt3 pi a `
अतः बेलन का आयतन महत्तम होगा यदि उसकी ऊँचाई `(2a)/sqrt3` है ।