सिद्ध कीजिये कि महत्तम क्षेत्रफल वाला आयत जो वृत्त में अंतर्निहित किया जा सके के वर्ग होता है ।

Explanation

माना ABCD अभीष्ट आयतन है जिसके परिवृत्त की त्रिज्या a है तथा O केंद्र है माना OX तथा OY निर्देशाक्ष है । माना A(x, y) आयतन का एक शीर्ष है तब `x = a cos theta` तथा ` y = a sin theta`
`rArr AB = 2 a cos theta`
तथा `AD = 2a sin theta`
यदि आयत ABCD का क्षेत्रफल A है तब
` A = AB xx AD = 4a^(2) cos theta sin theta`
` rArr A = 2a^(2) sin 2 theta` ...(1)
दोनों पक्षों का ` theta`के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dA)/(d theta) = 4a^(2) cos 2 theta` ....(2)
तथा ` (d^(2)A)/(d theta) = - 8 a^(2) sin 2 theta` ....(3)
A के उच्चिष्ठ अथवा निमनिष्ठ मान के लिये
` (dA)/(d theta) = 0 rArr 4a^(2) cos 2 theta = 0 rArr cos 2 theta = 0`
` rArr cos 2 theta = cos pi //2 rArr theta = pi//4`
`((d^(2)A)/(d theta))_(theta//4) = - 8 a^(2) sin . pi/2 = - 8 a^(2) ` ( ऋण राशि )
अतः ` theta= pi //4` पर आयत ABCD का क्षेत्रफल महत्तम होगा ।
पुनः `AB = 2a cos 45^(@) = asqrt2`
तथा ` AD = 2 a sin 45^(@) = a sqrt2 `
` :. AB = AD`, अतः आयत ABCD एक वर्ग है ।
अतः वृत्त में बने महत्तम क्षेत्रफल का आयत एक वर्ग होता है ।