सिद्ध कीजिये कि किसी दिये हुए गोले के अंतर्गत महत्तम आयतन के शंकु की ऊँचाई का गोले के व्यास से अनुपात ` 2 : 3 ` होता है ।

Explanation

माना ABC अभीष्ट शंकु है तथा 'O' अभीष्ट गोले का केंद्र है । माना गोले की त्रिज्या r है । शंकु का आयतन महत्तम होगा यदि शंकु का शीर्ष A गोले के ऊर्ध्वाधर व्यास के उच्चतम बिंदु 'A' पर स्थित है । माना शंकु की ऊँचाई AE = h तथा आधार त्रिज्या BE = x, अतः ज्यामिति से
` BE xx CE = AE xx ED`
` rArr x^(2) = h (2 r - h)`
यदि शंकु का आयतन V है तब
` V = 1/3 pi x^(2) h `
` rArr V = 1/3 pi h (2 r - h) h `
` V = 1/3 pi [2r h^(2) - h^(3)]` ....(1)
दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dV)/(dh) = 1/3 pi [4 rh - 3h^(2)]` ...(2)
तथा ` (d^(2)V)/(dh^(2)) = 1/3 pi [4 r - 6h]` ....(3)
आयतन 'V' के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये
` (dV)/(dh) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 1/3 pi h (4 r - 3h) = 0`
` :. 4r - 3h = 0 " " (.:' h ne 0)`
या ` r = 3/4 h " या " 2 xx " व्यास " = 3 xx " ऊँचाई "`
` :. (" शंकु की ऊँचाई ")/(" गोले का व्यास ") = 2/3`
` rArr ` शंकु की ऊँचाई : गोले का व्यास = 2 : 3
समीकरण (3) से ,
` (d^(2)V)/(dh^(2)) = 1/3 pi [ 4 xx 3/4 h - 6h] = - pi h ` = ( ऋण राशि )
अतः आयतन महत्तम होगा । अतः शंकु के महत्तम आयतन के लिये
शंकु की ऊँचाई : गोले का व्यास = 2 : 3