किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण का योगफल दिया हुआ हो तब सिद्ध कीजिये की त्रिभुज का क्षेत्रफल महत्तम होगा यदि दी हुई भुजा तथा कर्ण के बीच का कोण `pi//3` हो ।

Explanation

माना `Delta ABC` अभीष्ट समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है । माना इसकी भुजाओं AB तथा AC का योगफल p है यदि AB = x तब
` AC = p - x " " (.:' AB + AC = p)`

पाइथागोरस के प्रमेय से ,
` (BC)^(2) = (p - x)^(2) - x^(2) = (p - 2x) p `
` rArr BC = sqrt( p^(2) - 2 p x ) `
माना ` Delta ABC` का क्षेत्रफल A है तब
` A = (" आधार" xx " ऊँचाई")/2 `
` A = (x sqrt( p^(2) - 2 p x ) )/ 2 ` ...(1)
दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dA)/(dx) = 1/2 [ sqrt( p^(2) - 2 p x) + (x (-2 p))/(2sqrt( p^(2) - 2 px )) ]`
` = 1/2 [ sqrt(p^(2) - 2 p x) - (px)/sqrt( p^(2) - 2 p x)]`
` (dA)/(dx) = 1/2 [(p^(2) - 3 p x)/sqrt( p^(2) - 2 p x )]` ....(2)
तथा ` (d^(2)A)/(dx^(2))`
` = 1/2 (sqrt(p^(2) - 2 p x ) (-3 p) - (p^(2) - 3 p x)[(-p)/sqrt(p^(2) - 2 p x)])/((p^(2) - 2 p x)) `
` = 1/2 (-3 p (p^(2) - 2 p x) + p ( p^(2) - 3 p x))/(( p^(2) - 2 p x)^(3//2))` ...(3)
क्षेत्रफल के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान से
` (dA)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 1/2 ((p^(2) - 3 p x)/sqrt(( p^(2) - 2 p x))) = 0`
`rArr p(p - 3x) = 0`
` rArr p = 0 "या " p = 3x`
परन्तु p = 0 पर त्रिभुज की रचना ही असम्भव है , अतः
p = 3 x
समीकरण (3) में p = 3x रखने पर
` ((d^(2)A)/(dx^(2)))_(p = 3 x)`
` = 1/2 [(-3(3x)(9x^(2) - 6x^(2))+ 3x (9x^(2) - 9x^(2)))/((9x^(2) - 6x^(2))^(3//2))]`
` = ( 3 sqrt3)/ 2 ` ( ऋण राशि )
अतः p = 3x पर त्रिभुज एक क्षेत्रफल महत्तम होगा । चित्र से
` cos A = x/(3 x - x) = 1/2`
` rArr angle A = pi/3`