सिद्ध कीजिये कि शंकु के अंतर्गत बने लंबवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ महत्तम होगा यदि बेलन कि त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी है ।

Explanation

माना शंकु की ऊँचाई h है । माना PARS अभीष्ट बेलन है ।
माना शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `'alpha'` है तथा बेलन की आधार त्रिज्या x है ।

`Delta ASO_(1) "में ," (AO_(1))/x = cot alpha rArr AO_(1) = x cot alpha`
बेलन की ऊँचाई
` OO_(1) = AO - AO_(1) = (h - x cot alpha)`
माना बेलन का वक्रपृष्ठ (curved surface) C है
तब C = आधार का परिमाप `xx` ऊँचाई
` rArr C = 2 pi x ( h - x cot alpha)`
` rArr C = 2 pi (h x - x^(2) cot alpha) ` ....(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dC)/(dx) = 2 pi (h - 2 x cot alpha)` ...(2)
तथा ` (d^(2)C)/(dx^(2)) = 2 pi (0 - 2 cot alpha)`
` rArr (d^(2)C)/(dx^(2)) = - 4 pi cot alpha ` ....(3)
'C' के उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ मान के लिये ,
` (dC)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` 2 pi (h - 2 x cot alpha) = 0`
` rArr cot alpha = h/(2x) `
चित्र से , ` cot alpha = h/(OB) `
` rArr h/(2x) = h/(OB) rArr OB = 2 x `
अर्थात शंकु की आधार त्रिज्या OB बेलन की आधार त्रिज्या से दुगनी है ।
पुनः जब ` cot alpha = h/(2x) `
तब ` (d^(2)C)/(dx^(2)) = - 4 pi (h/(2x)) `
` = (-2 pi h)/x ` ( ऋण राशि )
अतः जब शंकु की त्रिज्या बेलन की दुगनी है तो शंकु के अंतर्गत बने लंबवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ महत्तम होगा ।