सिद्ध कीजिये कि लम्ब वृत्ताकार शंकु के अंतर्गत बने महत्तम बेलन का आयतन ` 4/27 pi h ^(3) tan^(2) alpha` है जबकि शंकु की ऊँचाई h तथा अर्द्धशीर्ष कोण `alpha` है ।

Explanation

माना 'ABC' अभीष्ट लंबवृत्तीय शंकु है जिसकी ऊँचाई AO = h तथा अर्द्धशीर्ष कोण `alpha` है । माना बेलन PQRS की त्रिज्या x है ।

` DeltaASO_(1)"में , " (AO_(1))/x = cot alpha rArr AO_(1) = x cot alpha`
बेलन की ऊँचाई ` OO_(1) = h - AO_(1) = (h - x cot alpha)`
यदि बेलन का आयतन V है तब
` V = pi x^(2) (h - x cot alpha)`
` rArr V = pi (h x^(2) - x^(3) cot alpha) ` ...(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
`(dV)/(dx) = pi (2 h x - 3 x ^(2) cot alpha) ` ....(2)
तथा ` (d^(2)V)/(dx^(2)) = pi (2 h - 6 x cot alpha)` ...(3)
आयतन 'V' के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मान के लिये ` (dV)/(dx) = 0`
अतः समीकरण (2) से ,
` pi x (2 h - 3 x cot alpha) = 0`
` x = 0 " या " x = (2h)/3 tan alpha`
समीकरण (3) में ,` x = (2 h)/3 tan alpha` रखने पर ,
` (d^(2)V)/(dx^(2)) = pi (2 h - 6 xx (2 h)/ 3 tan alpha cot alpha) `
` = - 2 pi h` ( ऋण राशि ) उच्चिष्ठ
अतः ` x = (2h)/ 3 tan alpha` पर बेलन का आयतन उच्चिष्ठ है । बेलन का उच्चिष्ठ आयतन समीकरण (1) से
` V = pi [ h xx (4 h^(2))/9 tan ^(2) alpha - (8h^(3))/27 tan^(3) alpha * cot alpha]`
` = pi h ^(3) tan^(2) alpha (4/9 - 8/27) = 4/27 pi h^(3) tan^(2) alpha`