`int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))` का मान ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना `" "I=int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `" "(1)/((x+1)^(2)(x-1))=(A)/((x+1))+(B)/((x+1)^(2))+(C)/((x-1))`
`rArr" "1=A(x+1)x-1)+B(x-1)+C(x+1)^(2)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) में `x-1=0 rArr x= 1` रखने पर,
`1=0+0+C(1+1)^(2) rArr C=(1)/(4)`
समीकरण (1 ) में `x+1=0 rArr x=-1` रखने पर,
`1=0+B(-2)+0 rArr B=-(1)/(2)`
समीकरण (1 ) का विस्तार करने पर ,
`1=A(x^(2)-1)+B(x-1)+C(x^(2)+2x+1)`
`0x^(2)+0x+1=x^(2)(A+C)+x(B+2C)+(-A-B+C)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणांकों की तुलना करने पर
`A+C=0 rArr A=-C=-(1)/(4)`
अतः `(1)/((x+1)^(2)(x-1))=(-1)/(4(x+1)^(2))+(1)/(4(x-1))`
`therefore" "int(dx)/((x+1)^(2)(x-1))=-(1)/(4)int(dx)/((1+x))-(1)/(2)int(dx)/((x+1)^(2))+(1)/(4)int(dx)/((x-1))`
`=-(1)/(4)log(1+x)-(1)/(2)((x+1)^(-2+1))/(-2+1)+(1)/(4)log(x-1)`
`=(1)/(4)log((x-1)/(x+1))+(1)/(2(x+1))`