`int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना `" "I=int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))`
आंशिक भिन्नों में वियोजन
माना `(1)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(A)/((x+a))+(Bx+C)/((x^(2)+b^(2)))`
`rArr" " 1=A(x^(2)+b^(2))+(Bx+C)(x+a)" ...(1)"`
समीकरण (1 ) में `x+a=0 rArr x = -a` रखने पर,
`1=A(a^(2)+b^(2))+0 rArr A=(1)/(a^(2)+b^(2))`
समीकरण (1 ) में रखने पर,
`1=Ax^(2)+Ab^(2)+Bx^(2)+aBx+Cx+Ca`
`0x^(2)+0x+1=x^(2)(A+B)+x(aB+C)+(Ab^(2)+Ca)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणांकों की तुलना करने पर
`A+B=0 rArr B=-A=-(1)/((a^(2)+b^(2)))`
अतः `" "B=(-1)/((a^(2)+b^(2)))`
तथा `aB+C=0 rArr C=(a)/((a^(2)+b^(2)))`
`therefore" "(1)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(1)/((a^(2)+b^(2))(x+a))+((a-x))/((a^(2)+b^(2))(x^(2)+b^(2)))`
`therefore" "int(dx)/((x+a)(x^(2)+b^(2)))=(1)/((a^(2)+b^(2)))int(dx)/((x+a))+int((a-x)dx)/((a^(2)+b^(2))(x^(2)+b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))log(x+a)+(a)/((a^(2)+b^(2)))int(dx)/(x^(2)+b^(2))-(1)/((a^(2)+b^(2)))int(xdx)/((x^(2)+b^(2)))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))log(x+a)+(1)/((a^(2)+b^(2))).(a)/(b)tan^(-1)((x)/(b))=(1)/(2(a^(2)+b^(2)))log(x^(2)+b^(2))`
`=(1)/((a^(2)+b^(2)))[log(x+a)+(a)/(b)tan^(-1)((x)/(b))-(1)/(2)log(x^(2)+b^(2))]`