फलन `int(2x+1)/(sqrt((2x^(2)+x-3)))dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Explanation

माना `" "I=int(2x+1)/(sqrt(2x^(2)+x-3))dx" ...(1)"`
माना `2x+1=A(d)/(dx)(2x^(2)+x-3)+B`
`=A(4x+1)+B`
`=4Ax+(A+B)`
दोनों पक्षों में समान घातीय पदों के गुणांकों की तुलना करने पर,
`2=4A rArr A=(1)/(2)`
तथा `" "A+B=1" " rArr" "B=(1)/(2)`
अतः समीकरण (1 ) से,
`I=(1)/(2)int(4x+1)/(sqrt(2x^(2)+x-3))dx +(1)/(2)int(dx)/(sqrt(2x^(2)+x-3))`
`=(1)/(2)((2x^(2)+x-3)^(-(1)/(2)+1))/(-(1)/(2)+1)+(1)/(2sqrt2)int(dx)/(sqrt(x^(2)+(1)/(2)x-(3)/(2)))`
`=sqrt(2x^(2)+x-3)+(1)/(2sqrt2)int(dx)/(sqrt((x^(2)+(1)/(2)x+(1)/(16)-(1)/(16)-(3)/(2))))`
`" "` (पूर्ण वर्ग बनाने पर)
`=sqrt((2x^(2)+x-3))+(1)/(2sqrt2)int(dx)/(sqrt((x+(1)/(4))^(2)-((5)/(4))^(2))`
माना `x+(1)/(4)= t rArr dx = dt` तथा `(5)/(4)=a`
`therefore" "I=sqrt(2x^(2)+x-3)+(1)/(2sqrt2)int(dt)/(sqrt(t^(2)-a^(2)))`
`=sqrt((2x^(2)+x-3))+(1)/(2sqrt2)log[t+sqrt(t^(2)-a^(2))]`
`=sqrt((2x^(2)+x-3))+(1)/(2sqrt2)log[(x+(1)/(4))+sqrt((x+(1)/(4))^(2)-((5)/(4))^(2))]`
`=sqrt((2x^(2)+x-3))+(1)/(2sqrt2)log[(4x+1)+sqrt(16x^(2)+8x-24)]`
`" "` (log 4 को अचर में सम्मिलित करने पर )