फलन `int(dx)/(12 cos x-5sin x)` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए ।

Explanation

माना `" "I= int(dx)/(12 cos x-5sinx)`
`I=int(dx)/(12(cos^(2)x//2-sin^(2)x//2)-10sinx//2 cos x//2)`
अंश व हर को `cos^(2)x//2` से भाग देने पर ,
`I=int(sec^(2)x//2dx)/(12(1-tan^(2)x//2-(10)/(12)tanx//2))`
`=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(1-(tan^(2)x//2+(5)/(6)tanx//2))`
`=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(1-[tan^(2)x//2+(5)/(6)tanx//2 +((5)/(12))^(2)-((5)/(12))^(2)])`
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए `((5)/(12))^(2)` को जोड़ने तथा घटाने पर
`I=(1)/(12)int(sec^(2)x//2dx)/(((13)/(12))^(2)-(tanx//2+(5)/(12))^(2))`
माना `(13)/(12)=a` तथा `tanx//2+(5)/(12)-t`
`therefore" "sec^(2).(x)/(2)=2dt`
`therefore" "I=(1)/(6)int(dt)/(a^(2)-t^(2))=(1)/(12a)log((a+t)/(a-t))`
`=(1)/(12xx(13)/(12))log[(12 tanx//2 +18)/(8-12 tanx//2)]`
`=(1)/(13)log[(12 tanx//2 +18)/(8-12 tan x//2)]`
द्वितीय विधि --
अंश व हर को 13 से भाग देने पर,,
`I=(1)/(13)int(dx)/(((12)/(12)cosx-(5)/(13)sinx))`
`=(1)/(13)int(dx)/(cos alpha cos x-sin alpha sin x)`
जबकि `(12)/(13)=cos alpha` तथा `(5)/(13)=sin alpha" "therefore" "tan alpha=(5)/(12)`
`=(1)/(13)int(dx)/(cos(x+alpha))=(1)/(13)intsec(x+alpha)dx`
`=(1)/(13)log[sec(x+alpha)+tan(x+alpha)]`
`=(1)/(13)log[sec{x+tan^(-1)((5)/(12))}+tan{x+tan^(-1)((5)/(12))}]`