फलन `int(x^(2))/((x^(2)+1)(3x^(2)+1))dx` का x के सापेक्ष समाकलन कीजिये

Explanation

यदि अंश व हर दोनों में x की केवल समघात ही हो तब `x^(2)=t` रखकर फलन का आंशिक भिन्नो में वियोजन कीजिए।
अतः `x^(2)=t` रखने पर
`(x^(2))/((x^(2)+1)(3x^(2)+1))=(t)/((t+1)(3t+1))`
`rArr" "(t)/((t+1)(3t+1))=(A)/((t+1))+(B)/((3t+1))`
`therefore" "t=A(3t+1)+B(t+1)" ...(1)"`
समीकरण (1) में `t+1=0 rArr 1=-1` रखने पर
`-a=A(-3+1)" "rArr" "A=(1)/(2)`
तथा `3t+1=0 rArr t=-(1)/(3)` रखने पर
`-(1)/(3)=B(-(1)/(3)+1)" "rArr -(1)/(3)=(2)/(3)B`
`therefore" "B=-(1)/(2)`
`therefore" "(t)/((t+1)(3t+1))=(1)/(2(t+1))-(1)/(2).(1)/((3t+1))`
`therefore int(x^(2)dx)/((x^(2)+1)(3x^(2)+1))=(1)/(2)int(dx)/(1+x^(2))-(1)/(2)int(dx)/(3x^(2)+1)`
`=(1)/(2)int(dx)/(1+x^(2))-(1)/(6)int(dx)/(x^(2)+((1)/(sqrt3))^(2))`
`=(1)/(2)tan^(-1)(x)-(1)/(2sqrt3)tan^(-1)(x sqrt3)`