फलन `intsin^(5)xdx` का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात कीजिए ।

Explanation

इस फलन का समाकलन हम समानयन विधि के प्रयोग से करेंगे।
माना `I_(5)=intsin^(5)xdx" ...(1)"`
`=int sin^(4)x sin xdx" "` (नोट कीजिए)
`sin^(4)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर ,
`I_(5)=sin^(4)x int sin xdx-int{(d)/(dx)sin^(4)x int sinxdx}dx`
`=sin^(4)x cos x+int 4sin^(3)x cos^(2)xdx`
`=-sin^(4)x cos x+4int sin^(3)x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(4)x cos x+4int sin^(3)x dx-4int sin^(5)xdx`
`=-sin^(4)x cos x+4I_(3)-4I_(5)`
`rArr" "(1+4)I_(5)=-sin^(4)x cos x+4I_(3)`
`therefore" "I_(5)=-(1)/(5)sin^(4)x cos x+(4)/(5)I_(3)" ...(2)"`
पुनः `" "I_(3)=intsin^(3)xdx" ...(3)"`
`" "=int sin^(2)xsin xdx`
`sin^(2)x` को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर,
`I_(3)=sin^(2)x int sin x dx=int{(d)/(dx)sin^(2)x int sin xdx}dx`
`=-sin^(2)xcosx+2int sin x cos^(2)xdx` ltBrgt `=-sin^(2)x cos x+2 int sin x(1-sin^(2)x)dx`
`=-sin^(2)x cos x+2 int sinx dx-2I_(3)`
`therefore I_(3)=-(1)/(3)sin^(2)x cos x+(2)/(3)(-cosx)`
`=-(1)/(3)sin^(2)x cos x-(2)/(3)cosx`
`I_(3)` का मान समीकरण (2 ) में रखने पर,
`I_(5)=-(1)/(5)sin^(4)x cos x-(4)/(15)sin^(2)x cos x-(8)/(15)cosx`