अवकल समीकरण `(x^(3)+x^(2)+x+1)(dy)/(dx)=2x^(2)+x` का व्यापक मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना `(x^(3)+x^(2)+x+1)(dy)/(dx)=2x^(2)+x`
`(dy)/(dx)=(2x^(2)+x)/((x^(3)+x^(2)+x+1))=(2x^(2)+x)/(x^(2)(x+1)+(x+1))`
चर पृथक करने पर
`dy={(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))}dx`
समाकलन करने पर
`intdy=int{(2x^(2)+x))/((x+1)(x^(2)+1))}dx`
`y=int{(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))}dx`
आंशिक भिन्न में व्यक्त करने पर
`(2x^(2)+x)/((x+1)(x^(2)+1))=(A)/((x+1))+(Bx+C)/((x^(2)+1))`
`2x^(2)+x=A(x^(2)+1)+(Bx+C)(x-1)`
माना x=-1 तब A=1/2
माना x=0, तब C=-A=-1/2
व माना x=1, तब 2A+2B+2C=3
`impliesB=3//2`
`y-(1)/(2)int(dx)/((x+1))+int((3)/(2)x=(1)/(2))/((x^(2)+1))dx+c`
`impliesy=(1)/(2)int(dx)/((x+1))+(x)/((x^(2)+1))dx-(1)/(2)int(dx)/((x^(2)+1))+c`
`y=(1)/(2)log(x+1)+(3)/(4)log(x^(2)+1)-(1)/(2)tan^(-1)x+c`
`y(1)/(2)log(x+1)+(3)/(4)log(x^(2)+1)-(1)/(2)tan^(-1)x+c`