अवकल समीकरण `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1` का विशेष हल ज्ञात कीजिए। यहाँ दिया गया है y=0 तब x=2

Explanation

माना `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1" "......(1)`
चर पृथक करने पर
`dy=(1)/(x(x^(2)-1))dx`
समाकलन करने पर
`intdy=int(dx)/(x(x-1)(x+1))" "......(2)`
आंशिक भिन्नो में व्यक्त करने पर
`(1)/(x(x-1)(x+1))=(A)/(x)+(B)/((x-1))+(C)/((x+1))" "......(3)`
`1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)`
यदि `x=0impliesA=-1`
व `x=1impliesB=1//2`
व `x=-1impliesC=(1)/(2)` तब
`(1)/(x(x-1)(x+1))=(-1)/(x)+(1)/(2(x-1))+(1)/(2(x+1))" "......(4)`
समीकरण (2) व (4) से
`intdy=int(-dx)/(x)+(1)/(2)int(dx)/((x-1))+(1)/(2)int(dx)/((x+1))+c`
यहाँ c एक स्वैच्छिक अचर है।
`impliesy=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+c" "......(5)`
दिया है कि y=0 जब x = 2 तब समीकरण (5) से
`-log2+(1)/(2)log3+c=0`
`impliesc=log2-(1)/(2)log3=(1)/(2)log4(1)/(2)log3=(1)/(3)log((4)/(3))`
तब `c=(1)/(2)log((4)/3)`,तब समीकरण (5) से
`y=-log(x)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log(x+1)+(1)/(2)log""(4)/(3)`
`y=-(1)/(2)logx^(2)+(1)/(2)log[(x-1)(x+1)]+(1)/(2)log""(4)/(3)`
`y=(1)/(2)log[(4(x^(2)-1))/(3x^(2))]`