`(y^(2)-x^(2))dy=3xydx` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है : `(y^(2)-x^(2))dy=3xydx`
`implies(dy)/(dx)=(3xy)/(y^(2)-x^(2))`
जोकि एक समघात अवकल समीकरण है।
उपरोक्त समीकरण में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` रखने पर
`v+x(dv)/(dx)=(3x.vx)/(v^(2)x^(3)-x^(2))=(3 v)/(v^(2)-1)`
`impliesx(dv)/(dx)=(3v)/(v^(2)-1)v=(4v-v^(3))/(v^(2)-1)`
चरो को पृथक करने पर, `(v^(2)-1)/(v(4-v^(2)))dv=(dx)/(x)`
दोनों ओर को समाकलन करने पर,
`int(v^(2)-1)/(v(2-v)(2+v))dv=int(dx)/(x)+c`
`impliesint[-(1)/(4v)+(3)/(8).(1)/(2-v)-(3)/(8)(1)/(2+v)]dv=int(dx)/(x)+c`
`implies-(1)/(4)log| v|-(3)/(8)log|2-v|-(3)/(8)log|2+v|=log|x|+c`
`implies2log|v|+3(log|2-v|+3log|2+v|+3log|2+v|)=-8log|x|-8c`
`implieslog|v^(2).(4-v^(2))^(3)|=lgo|(c_(1))/(x^(8))|`
`impliesv^(2)(4-v^(2))^(3)=+-(c_(1))/(x^(8))`
अब, `v=(y)/(x)` रखने पर
`(y^(2))/(x^(2))(4-(y^(2))/(x^(2)))=+-(c_(1))/(x^(8))`
`impliesy^(2)(4x^(2)-y^(2))^(3)=c_(1)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।