`x^(2).(dy)/(dx)=2xy+y^(2)` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है : `x^(2).(dy)/(dx)=2xy+y^(2)`
`implies(dy)/(dx)=(2xy+y^(2))/(x^(2))" "......(1)`
जोकि एक समाघात अवकल समीकरण है।
समीकरण (1) में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` रखने पर
`v+x(dy)/(dx)=(2x.vx+(vx)^(2))/(x^(2))=2v+v^(2)`
`impliesx(dy)/(dx)=v+v^(2)=v(1+v)`
चरो को पृथक करने पर
`(dv)/(v(1+v))=(dx)/(x)`
दोनों ओर का समाकलन करने पर
`impliesint[(1)/(v)-(1)/(1+v)]dv=int(dx)/(x)`
`log|v|-log|1+v|=log|x|+logc_(1)`
`implies|(v)/(1+v)|=c_(1)|x|`
पुनः `v=(y)/(x)` रखने पर,
`(y)/(x+y)=+-c_(1)x=cx" "(c=+-c_(1))`
`impliesy=cx(x+y)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।