`y^(2)dx+(x^(2)-xy+y^(2))dy=0` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है :
`y^(2)dx+(x^(2)-xy+y^(2))dy=0`
`implies(dy)/(dx)=-(y^(2))/((x^(2)-xy+y^(2)))" "......(1)`
समीकरण (1) में y = vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+(dv)/(dx)` रखने पर
`v+x(dv)/(dx)=-(v^(2))/(v(1+v^(2)))`
`impliesx(dv)/(dx)=-[(v^(2))/((1-v+v^(2)))+v]=(-(v+v^(3)))/((1-v+v^(2)))`
चरो का पृथक करने पर
`((1-v+v^(2)))/(v(1+v^(2)))dv=-(1)/(x)dx`
`implies[(1+v^(2))/(v(1+v^(2)))-(v)/(v(1+v^(2)))]dv=-(1)/(x)dx`
दोनों ओर एक समाकलन करने पर
`impliesint((1)/(v)-(1)/((1+v^(2))))dv=-int(1)/(x)dx`
`log|v|-tan^(-1)v+log|x|=logc`
`impliestan^(-1)v=log""(|vx|)/(c)`
पुनः `v=(y)/(x)` रखने पर
`tan^(-1)""(y)/(x)=log""((|y|))/(c)implies(|y|)/(c)=e^(tan^(-1)""(y)/(x))`
`impliesy=c_(1)e^(tan^(-1)""(y)/(x))" "(c_(1)=+-c)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।