`(3xy+y^(2))dx+(x^(2)+xy)dy=0` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है : `(3xy+y^(2))dx+(x^(2)+xy)dy=0`
`implies(dy)/(dx)=-((3xy+y^(2)))/((x^(2)+xy))" "......(1)`
समीकरण (1) में y =vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+(dv)/(dx)` रखने पर
`v+x(dy)/(dx)=-((3vx^(2)+v^(2)x^(3)))/(x^(2)+vx^(2))`
`impliesv+x(dy)/(dx)=-((3v+v^(2)))/((1+v))`
`impliesx(dv)/(dx)=[-((3v+v^(2)))/((1+v))-v]`
`impliesx(dv)/(dx)=(-2(2v+v^(2)))/((1+v))`
`implies((1+v))/((2v+v^(2)))dv=-(2)/(x)dx`
दोनों ओर का समीकरण करने पर
`int(1+v)/((2v+v^(2)))dv+int(2)/(x)dx=logc`
`implies(1)/(2)log|2v+v^(2)|+2log|x|=logc`
`implieslog|x^(2)sqrt(2v+v^(2))|=logc`
`implies|x^(2)sqrt(2v+v^(2))|=c`
पुनः `x=(y)/(x)` रखने पर
`x^(2)sqrt((2y)/(x)+(y^(2))/(x^(2)))=c`
`impliesxsqrt((2xy+y^(2)))=c`
`impliesx^(2)(2xy+y^(2))=c^(2)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।