`(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2)y)dy` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है :
`(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2)y)dy`
`implies(dy)/(dx)=(x^(3)-3xy^(2))/(y^(3)-3x^(2)y)" "......(1)`
समीकरण (1) में y =vx अर्थात `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)` रखने पर
`v+x(dy)/(dx)=(x^(3)-3v^(2)x^(3))/(v^(3)x^(3)-3vx^(3))`
`impliesv+x(dy)/(dx)=(1-3v^(3))/(v^(3)-3v)`
`impliesx(dv)/(dx)=((1-3v^(2))/(v^(3)-3v)-v)=(1-v^(4))/(v^(3)-3v)`
चरो को पृथक करने पर
`(3v-v^(3))/(v^(4)-1)dv=(dx)/(x)`
`implies[(1)/(2(v+1))+(1)/(2(v-1))-(2v)/((v^(2)+1))]dv=(dx)/(x)`
दोनों ओर का समाकलन करने पर
`int[(1)/(2(v+1))+(1)/(2(v-1))-(2v)/((v^(2+1)))]dv=int(dx)/(x)`
`implies(1)/(2)log|v+1|+(1)/(2)log|v-1|-log|v^(2)+1|=log|x|+logc`
`implieslog|((sqrt(v+1))(sqrt(v-1)))/(x(v^(2)+1))|=logc`
`implies(v^(2)-1)=c^(2).x^(2)(v^(2)+1)^(2)`
पुनः `v=(y)/(x)`
`(y^(2)-x^(2))=c^(2)(y^(2)+x^(2))^(2)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।