`(1+x^(2))(dy)/(dx)+y=e^(tan^(-1))x` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है - `(dy)/(dx)+(y)/(1+x^(2))=(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2))" ".......(1)`
समीकरण (1) की तुलना `(dy)/(dx)+Py=Q` से करने पर
`P=(1)/(1+x^(2)),Q=(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2))`
अब `I.F.=e^(intPdx)=e^(int(1)/(1+x^(2))dx)=e^(tan^(-1)x)`
इसलिए समीकरण का हल
`y.(I.F.)=intQ.(I.F.)dx+c`
`impliesy.e^(tan^(-1)x)=int(e^(tan^(-1))x)/(1+x^(2)).e^(tan^(-1)x).dx+c`
`=int(e^(2tan^(-1)x))/(1+x^(2))dx+c" "......(2)`
माना `tan^(-1)x=timplies(1)/(1+x^(2))dx=dt`
तब समीकरण (2) से
`y.e^(t)=inte^(2t)dt+c=(1)/(2)e^(2t)+c`
`:.y=(1)/(2)(e^(2t))/(e^(t))+(c)/(e^(t))=(1)/(2)e^(t)+ce^(-1)`
`impliesy=(1)/(2)e^(tan^(-1)x)+ce^(-tan^(-1)x)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।