`(1+y^(2))dx=(tan^(-1)y-x)dy` को हल कीजिए।

Explanation

दिया है - `(1+y^(2))dx=(tan^(-1)y-x)dy`
`implies(dx)/(dy)=(tan^(-1)y-x)/(1+y^(2))`
`implies(dx)/(dy)=(tan^(-1)y-x )/(1+y^(2))`
`implies(dx)/(dy)+(1)/(1+y^(2)).x=(tan^(-1)y)/(1+y^(2))" ".......(1)`
जोकि `(dx)/(dy)+Px=Q` प्रकार का रैखिक समीकरण है।
जहाँ `P=(1)/(1+y^(2)).Q=(tan^(-1)y)/(1+y^(2))`
अब `I.L.=e^(intPdy)=e^(int(1)/(1+y^(2))dx)=e^(tan^(-1)y)`
`:.` समीकरण का हल
`x.(I.F.)=intQ(I.F.)dy+c`
`impliesx.e^(tan^(-1))=int(tan^(-1)y)/(1+y^(2)).e^(tan^(-1)y)dy+c`
`xe^(t)=intte^(t)dt+c" "` (माना `t=tan^(-1)y`)
`=(e^(t)t-e^(t))+c" ":.dt=(1)/(1+y^(2))dy)`
`=e^(t)(t-1)+c=e^(tan^(-1)y)(tan^(-1)y-1)+c` ltbr `:.x=-1+tan^(-1)y+ce^(-tan^(-1)y)`
यही दी गयी समीकरण का अभीष्ट हल है।