अवकल समीकरण `(1+y^(2))+(x-e^(tan^(-1)y))(dy)/(dx)=0` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दी गयी अवकल समीकरण
`(1+y^(2))+(x-e^(tan^(-1)y))(dy)/(dx)=0`
`implies(1+y^(2))(dx)/(dy)+(x-e^(tan^(-1)y))=0`
`implies(dx)/(dy)+(1)/((1+y^(2)))x=(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))`
यह `(dx)/(dy)+Px=Q` प्रकार की रैखिक समीकरण है।
अतः `P=(1)/(1+y^(2))" तथा "Q=(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))`
अब `I.F.=e^(intPdy)=e^(int(1)/(1+y^(2)))=e^(tan^(-1)y)`
`:.` रैखिक समीकरण का हल
`x""xxI.F.=intQxxI.F.dy+c`
`impliesx"xxe^(tan^(-1)y)=int(e^(tan^(-1)))/(1+y^(2))xxe^(tan^(-1)y)dy+c`
`=xe^(tan^(-1)y)=int(e^(2tan^(-1)))/(1+y^(2))=dy+c`
अब `tan^(-1)y=t` रखने पर,
`implies(1)/(1+y^(2))dy=dt" ":.xe^(tan^(-1)y)=inte^(2t)dt+c`
`impliesxe^(tan^(-1)y)=(e^(2t))/(2)+c`
`impliesxe^(tan^(-1)y)=(e^(2tan^(-1)y))/(2)+c" "[t=tan^(-1)y)` रखने पर,]