सिद्ध कीजिए कि वह समान्तर चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर है , एक आयत है |

Explanation

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |
तथा ` vec (AB) = vecb `,
`vec(AC) = vecd`,
` therefore |vecb| = AB`
तथा ` |vecd| = AD`
` therefore vec(AC) = vec(AB) + vec(BC) = vecb + vecd`
तथा ` vec(BD) = vec(BC) + vec(CD) = vec(BC) - vec(CD) = vecd - vecb `
` because ` विकर्ण AC = विकर्ण BD
` rArr vec(AC) = vec(BD) `
` rArr (vec(AC))^(2)= (vec(BD))^(2)`
` (vecb + vecd)^(2) = (vecd - vecb)^(2)`
` rArr (vecb)^(2) + 2(vecb . vecd) + (vecd)^(2) = (vecd)^(2) - 2 (vecd . vecb) + (vecb)^(2)`
` rArr 2 (vecb. becd) = - 2(vecd. vecb)`
` rArr (vecb. vecd) = - 2 (vecb . vecd) `
`rArr 4 . (vecb . vecd) = 0 `
` rArr vec b. vecd = 0 `
` rArr vec (AB) . vec(AD) = 0 `
भुजाएँ AB तथा AD परस्पर लम्ब है | अतः समान्तर चतुर्भुज ABCD एक आयत है |