(i) क्या यह सम्भव हैं कि समान परिणाम के दो सदिशों के योग को परिणाम भी दिये गये प्रत्येक सदिश के परिणाम के बराबर हो ? (ii) दिये गये सदिशों के अन्तर का परिणाम प्रत्येक सदिश के परिणाम के सापेक्ष कितना होगा ?

Explanation

(i) दो सदिशों ( जो किसी कोण पर झुके हों ) तथा उनके योग-सदिश से मिलकर सदैव एक त्रिभुज बनता हैं | यदि ये तीनों ही परिणाम में बराबर हैं, तो त्रिभुज समबाहु त्रिभुज होगा जिनका प्रत्येक कोण `60^(@)` होता हैं चित्र में `vecA` तथा `vecB` दो सदिश हैं | `(A = B)` जिनका योग-सदिश `vecR` हैं, जबकि `R = A = B`. इस प्रकार, समान परिणाम के सदिशो `vecA` तथा `vecB` का प्रणामी सदिश `vecB` भी उसी परिणाम का हैं | | इस दशा में दिये गये सदिशों `vecA` तथा `vecB` के बीच का कोण `120^(@)` होना चाहिये |
वैकल्पिक विधि: माना दो सदिश `vecA` तथा `vecB` हैं, जहाँ `A = B`
इनका योग `vecR = vecA + vecB`
दोनों ओर स्वतः अदिश घुँण करने पर
`vecR * vecR = (vecA + vecB) * (vecA + vecB) = vecA * vecA + 2vecA * vecB + vecB * vecB`
अथवा `R^(2) = A^(2) + 2AB cos theta + B^(2)`
जहाँ `theta` सदिशों `vecA` तथा `vecB` के बीच कोण हैं |
यदि `R = A = B` हों, तब समीकरण से,
`A^(2) = A^(2) + 2A^(2) cos theta + A^(2)`
अथवा `2vecA^(2) cos theta = -A^(2)`
अथवा `cos theta = -(1)/(2)`
अथवा `theta = 120^(@)`.
इस दशा में दिये गये सदिशों के बीच कोण `120^(@)` होना चाहिये |
(ii) अब, माना दिये गये सदिशों का अन्तर `vecR'` हैं, अर्थात
`vecR' = vecA - vecB`
पुनः स्वतः अदिश गुणन करने पर
`R^(2) = A^(2) - 2AB cos theta + B^(2)`.
प्रश्नानुशार, `B = A` तथा `cos theta = -1//2` .
`therefore R^(2) = A^(2) + A^(2) + A^(2) = 3A^(2)`
अथवा `R' = sqrt(3) A `.
दिये गये सदिशों के अन्तर का परिणाम प्रत्येक के परिणाम का `sqrt(3)` गुना होगा |