सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज के लिए, `(sin alpha)/(A) = (sin beta)/(B) = ( sin gamma)/(c )`, जहाँ `vecA, vecB` तथा `vecC` क्रमशः कोण `alpha, beta` तथा `gamma` के सम्मुख त्रिभुज की भुजायें है |

Explanation

माना `vecA, vecB` तथा `vecC` एक त्रिभुज की तीन भुजाओं को प्रदर्शित करते है तथा `alpha, beta` व `gamma` क्रमशः `vecA, vecB` व `vecC` के सम्मुख कोण है ( चित्र ) | सदिश योग के नियमानुसार,
`vecA + vecB + vecC = 0" "…(i)`
`vecB` के साथ सदिश गुणनफल लेने पर,
`vecA xx vecB + vecB xx vecB + vecC xx vecB = 0`
अथवा `vecA xx vecB + vecC xx vecB = 0" " [therefore vecB xx vecB = 0]`
अथवा `vecA xx vecB = -vecC xx vecB = vecB xx vecC." "...(ii)`
अब समीकरण (i) का के साथ सदिश गुणनफल लेने पर,
`vecA xx vecC + vecB xx vecC + vecC xx vecC = 0`
अथवा `vecA xx vecC + vecB xx vecC = 0" " [therefore vecC xx vecC = 0]`
अथवा `vecB xx vecC = - vecA xx vecC = vecC xx vecA." "....(iii)`
समीकरण (ii) तथा (iii) की तुलना करने पर,
`vecB xx vecC = vecC xx vecA = vecA xx vecB`
अथवा `|vecB xx vecC | = |vecC xx vecA| = |vecA xx vecB|`.
अथवा `BC sin alpha = CA sin beta = AB sin gamma`
ABC से भाग देने पर, `( sin alpha )/(A) = ( sin beta)/(B) = ( sin gamma)/(C)`