निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्वारा स्थापना कीजिए :
(a) `|vecA + vecB| le |vecA| + |vecB|`
(b) `|vecA + vecB |ge ||vecA| - |vecB||`
(c ) `|vecA - vecB| le |vecA| + |vecB|`
`|vecA - vecB| le |vecA| + |vecB|`
`|vecA - vecB| ge ||vecA| - |vecB||`
इनमे समिका (समता) का चिन्ह कब लागू होता है ?

Explanation

माना सदिश `vecA` व `vecB` संग्लन समानांतर चतुर्भुज OPRQ की भुजाओं OP तथा OQ से प्रदर्शित किये जा सकते है | अब सदिशों के संयोजन के समानांतर चतुर्भुज नियम से इनका परिणामो `vecA + vecB` चतुर्भुज एक विकर्ण OR से व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि संलग्न चित्र से स्पष्ट है |
अतः ` OP |vecA|, OQ = PR = |vecB|`
तथा `OR = |vecA + vecB|`
(a) `|vecA + vecB| le |vecA| + |vecB|` का सत्यापन:
(a) `|vecA + vecB| le | vecA| + |vecB|` जैसा कि ज्ञात कि किसी त्रिभुज कि किसी भी भुजा कि लम्बाई अन्य दो भुजाओं कि लम्बाई के योग से सर्वथा कम होती है |
अतः त्रिभुज OPR में,
`OR lt OP + PR ` अथवा `OR lt OP + OQ`
अथवा `|vecA + vecB| lt |vecA| + |vecB|" "...(i)`
अब यदि सदिश `vecA` व `vecB` एक ही सरल रेखा के अनुदिश कार्य करते हुए एक ही दिशा में दिष्ट हो, तो
`|vecA + vecB| = |vecA| + |vecB|" "...(ii)`
असमता एवं संता शर्तो [समीकरण (i) व (ii)]
`|vecA + vecB| le |vecA| + |vecB|`
(b) `|vecA + vecB| lt |vecA| - |vecB|` का सत्यापन:
त्रिभुज OPR में,
`OR + PR gt OP` अथवा `OR gt OP - PR`
अथवा `|vecA + vecB| gt |vecA| - |vecB|" "...(iii)`
अब यदि सदिश `vecA` तथा `vecB` एक ही रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं में कार्यरत हो, तब
`|vecA + vecB| = |vecA| - |vecB|" "...(iv)`
समीकरण (iii) व (iv) कि असमिकाओं एवं समिकाओं का संयोग करने पर,
`|vecA + vecB| ge |vecA| - |vecB|`
(c ) `|vecA - vecB| le |vecA| + |vecB|` का सत्यापन:

माना सदिश `vecA` व `vecB` संलग्न चित्र में दिखाये गये समानांतर चतुर्भुज कि आसन्न भुआजों क्रमश: OP तथा OQ से निरूपित है | अतः `(-vecB)` OT जो कि परिमाण में OQ के बराबर एवं दिशा में विपरीत है, के द्वारा निरूपित किया जा सकता है | अतः सदिशों के योग के समानांतर चतुर्भुज नियम से सदिश `vecA` तथा `vecB` का परिणामी `vecA - vecB` समांतर चतुर्भुज OPST के विकर्ण OS से निरूपित होगा | अब `triangleOPS` में,
`OS lt OP + PS` अथवा `OS lt OP + OT`
अथवा `|vecA - vecB| lt |vecA|+|-vecB|`
अथवा `|vecA - vecB| lt |vecA| + |vecB|" "...(v)`
अब यदि सदिश `vecA` एवं `vecB` एक ही सरल रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं में कार्यरत हो, तब
`|vecA - vecB| = |vecA| + |vecB| " "...(vi)`
समीकरण (v) एवं (vi) का संयोजन करने पर,
`|vecA - vecB| le |vecA| + |vecB|`
(d) `|vecA - vecB| ge |vecA| - |vecB|` का सत्यापन :
त्रिभुज OPS में, `OS + PS gt OP` अथवा `OS gt OP - PS`
अथवा `|vecA - vecB| gt |vecA| - |-vecB|`
अथवा `|vecA - vecB| gt |vecA|- |vecB|" "...(vii)`
अब यदि `vecA` व `vecB` सदिश एक ही सरल रेखा के अनुदिश एक ही दिशा में दिष्ट हो, तब
`|vecA - veB| = |vecA| - |vecB|" "...(viii)`
समीकरण (vii) व (viii) से प्राप्त शर्तो को संयुक्त रूप से लिखने पर,
`|vecA - vecB| ge |vecA| - |vecB|`