दिया है `vecA + vecB + vecC + vecD = 0`, निचे दिए गए कथनो में से कौन-सी सही है?
(a) `vecA, vecB, vecC` तथा `vecD` में से प्रत्यके शून्य सदिश है,
(b) `(vecA + vecC)` का परिमाण `(vecB + vecD)` के परिमाण के बराबर है,
(c ) `vecA` का परिमाण `vecB, vecC` तथा `vecD` के परिमाणों के योग से कभी भी अधिक नहीं हो सकता,
(d) यदि `vecA` तथा `vecD` संरेखीय नहीं है तो `vecB + vecC` अवश्य ही `vecA` तथा `vecD` के समतल में होगा, और यह `vecA` तथा `vecD` के अनुदिश होगा यदि वे संरेखीय है |

Explanation

ऐसा सम्भव है पर इसे ही एक अद्वितीय उत्तर नहीं माना जा सकता, कई अन्य परिस्थितियोँ भी है जिनमे उक्त कथन सत्य हो सकता है | जैसे कि यदि `vecA + vecC = -(vecB + vecD)`|
(b) चूँकि `vecA + vecB + vecC + vecD = 0,`
अतः `vecA + vecB = -(vecC + vecD)`
अथवा `|vecA + vecB| = |vecC + vecD|`
अतः कथन सत्य है |
(c ) चूँकि
`vecA + vecB + vecC + vecD = 0`
अतः यह कहा जा सकता हे `vecA, vecV, vecC` व `vecD` चक्रीय क्रम में एक बहुभुज की भुजाएँ हे या उक्त चारो सदिश मिलकर एक बंद चतुर्भुज बनाते है | अब किसी भी चतुर्भुज में तीन भुजाओं की लम्बाई का योग शेष बची एक भुजा की लम्बाई से सदैव अधिक होता है अतः कथन सत्य है |
(d) चूँकि `vecA + vecB + vecC + vecD =0` या `(vecB + vecC) + vecA + vecD = 0`, अब यदि `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` मिलकर शून्य हो जाते है, तो यह तभी सम्भव हो सकेगा जब `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` एक ही समतल में स्थित हो | अतः `(vecB + vecC), vecA` व `vecD` के समतल में स्थित है |
पुनः यदि `vecA` व `vecD` संरेखीय नही है, तो `vecA + (vecB + vecC) + vecD =0`
यह तभी सम्भव है जब `vecA, (vecB + vecC)` व `vecD` मिलकर एक बंद त्रिभुज की रचना करे और इस स्थिति के लिए यह आवश्यक जो जाता है कि `vecA, (vecB + vecC)` तथा `vecD` एक ही समतल में स्थित हो | परन्तु यदि `vecA ` व `vecD` संरेखीय हो, तो सदिश `vecA + vecD` व `vecB + vecC` को एक ही सरल रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं होना चाहिए | अतः कथन सत्य है