`hati` व `hatj` क्रमश: x-व y-अक्षो के अनुदिश एकांक सदिश है | सदिशों `hati+hatj` तथा `hati - hatj` का परिमाण तथा दिशा क्या होगा ? सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` के `hati + hatj` व `hati - hatj` के दिशाओं के अनुदिश घटक निकालिए | [आप ग्राफ़ी विधि की उपयोग कर सकते है | ]

Explanation

सूत्र सदिश `vecA = A_(x) hati + A_(y)hatj`
सदिश `vecA` का परिमाण `A = sqrt(A_(x)^(2) + A_(y)^(2))` ltbRgt यदि यह सदिश x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करता है, तब
`tan theta = ((A_(y))/(A_(x)))`
सदिश `(hati + hatj)` का परिमाण `= sqrt((1)^(2) + (1)^(2)) = sqrt(2)`
यदि यह सदिश x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करता है,
`tan theta = (A_(y))/(A_(x)) = (1)/(1) = 1 = tan 45^(@)`अतः `theta = 45^(@)`
सदिश `(hati + hatj)` का परिमाण ` = sqrt((1)^(2) + (-1)^(2)) = sqrt(2)`
यदि यह सदिश `(hati - hatj)`x-अक्ष से `theta` कोण अंतरित करती है |
तब
`tan theta = ((A_(y))/(A_(x))) = ((-1)))/(1) =-1 = - tan45^(@)`
`theta = -45^(@)`
अतः`(hati - hatj)` सदिश x-अक्ष से ऋणात्मक दिशा में `45^(@)` कोण अन्तरित करता है |
सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` का सदिश `(hati + hatj)` की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए माना `vecB = (hati + hatj)`
सूत्र `vecA*vecB = cos theta = (A cos theta)(B)`
`A cos theta = (vecA * vecB)/(B) = ((2hati + 3hatj)*(hati + hatj))/(sqrt((1)^(2) + (1)^(2)))`
` A cos theta = (2hati * hati+3hatj *hatj)/(sqrt(2)) = (2+3)/(sqrt(2)) = (5)/(sqrt(2))`
[यहाँ `hati *hati = hatj * hatj = hatk * hatk = 1]`

सदिश `vecA = 2hati + 3hatj` का सदिश `(hati + hatj)` की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए माना `vecB = hati - hatj`.
अतः सदिश `vecA` का सदिश `(hati - hatj)` के अनुदिश घटक का परिमाण
`= ((2hati + 3hatj)*(hati - hatj))/(|hati - hatj|)`
` = (2hati *hati - 3hatj * hatj)/(sqrt((1)^(2) + (-1)^(2))) = (2-3)/(sqrt(2) = (1)/(sqrt(2))`
अतः `sqrt(2)x-`अक्ष से अक्ष से `-45^(@)` पर तथा घटक क्रमशः `((5)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))` होंगे |