दर्शाइए कि n, n + 2 या n + 4 में से केवल एक ही 3 से विभाजित होता है । यहाँ n एक पूर्णांक है ।

Explanation

हम जानते हैं की कोई भी धनात्मक पूर्णांक 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का होता है । (q एक पूर्णांक है) इनमे से केवल एक ही स्थिति होगी ।
स्थिति I. यदि n = 3q तब यह 3 से विभाजित है ।
अब `n = 3q" "rArr" "n + 2 = 3q + 2`
`rArr" "n + 2` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है । अत: n + 2, 3 से विभाजित नहीं है ।
तथा `n = 3q" "rArr" "n + 4 = 3q + 4 = 3(q + 1) + 1`
`rArr" "(n+4)` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है, अत: से विभाजित नहीं है अत: n + 4, 3 से विभाजित नहीं है, इस स्थिति में n, 3 से विभाजित है परन्तु n + 2 तथा n + 4 नहीं ।
स्थिति II. यदि n = 3q + 1
`because n = 3q + 1` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है । अत: n, 3 से विभाजित नहीं है ।
अब `n = 3q + 1" "rArr" "n+2 = 3q + 1 + 2 = 3(q + 1)" "rArr" "n+2, 3` से विभाजित है |
तथा `n = 3q + 1 " "rArr" n + 4 = (3q+1) + 4 = 3q + 5 = 3(q + 1) + 2`
`rArr (n + 4)` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है । अत: (n + 4), 3 से विभाजित नहीं है अत: (n + 2), 3 से विभाजित है, परन्तु n तथा (n + 4) नहीं ।
स्थिति III. यदि n = 3q + 2
`because n = 3q + 2` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है । इसलिए n, 3 से विभाजित नहीं है ।
तथा `n = 3q + 2" "rArr" "n + 2 = (3q + 2) + 2 = 3(q + 1) + 1`
`rArr (n + 2)` को 3 से विभाजित करने पर शेषफल, 1 प्राप्त होता है ।
`rArr (n + 2), 3` से विभाजित नहीं है ।
तब `n = 3q + 2 " "rArr" "n + 4 = (3q + 2) + 4 = 3(q + 2)" "rArr" "(n+4), 3` से विभाजित है ।
`therefore` इस स्थिति में (n + 4), 3 से विभाजित है परन्तु n तथा n + 2 नहीं |