दर्शाइए कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 8k + 1 के रूप का होता है ।

Explanation

माना n एक विषम धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए `n^(2)` भी एक विषम धनात्मक पूर्णक होगा ।
तब n, 8q + 1, 8q + 3, 8q + 5 तथा 8q + 7 में से किसी एक रूप का होगा ।
जब n = 8q + 1
`rArr" "n^(2) = (8q + 1)^(2) = 64q^(2) + 16q + 1`
`=8(8q^(2) + 2q) + 1 8k + 1` जहाँ `k = 8q^(2) + 2q`
यदि n = 8q + 3
`rArr" "n^(2) = (8q + 3)^(2) = 64q^(2) + 48q + 9`
`=8(8q^(2) + 6q + 1) + 1 = 8k + 1` जहाँ `k = 8q^(2) + 6q + 1`
यदि n = 8q + 5
`rArr" "n^(2) = (8q + 5)^(2) = 64q^(2) + 80q + 25`
`= 8(8q^(2)+10q + 3) + 1 = 8k + 1` जहाँ `k = 8q^(2) + 10q + 3`
यदि n = 8q + 7
`rArr" "n^(2) = (8q + 7)^(2) = 64q^(2) + 112q + 49`
`=8(8q^(2)+ 14q + 6) + 1 = 8k + 1` जहाँ `k = 8q^(2) + 14q + 6`
उपरोक्त से स्पष्ट है की सभी स्थितियों में `n^(2)`, किसी पूर्णांक k के लिए 8k + 1 के रूप का है ।