(a) दर्शाइए की आवेशित पृष्ट के एक पाश्र्व से दूसरे पाश्र्व पर स्थिरवैघृत क्षेत्र के अभिलम्ब घटक में असांतत्य होता है, जिसे
`(E_(2)-E_(1)).hatn=sigma/(epsilon_(0))`
द्वारा व्यक्त किया जाता है। यहाँ `hatn` एक बिंदु पर पृष्ट के अभिलम्ब एकांक सदिश है तथा `sigma` उस बिंदु पर पृष्ट आवेश धनत्व है `(hatn)` की दिशा पाश्र्व 1 से पाश्र्व 2 की और है। अतः दर्शाइए की चालक की ठीक बाहर विघुत क्षेत्र `(sigmahatn)/(epsilon)` है।
(b) दर्शाइए की आवेशित पृष्ट के एक पाश्र्व से दूसरे पाश्र्व पर स्थिर वैघृत क्षेत्र का स्पर्शीय घटक संतत है।

Explanation

(a) माना AB एक आवेशित पृष्ट है जिसके दो क्षेत्र चित्रानुसार दर्शाइए गए है, एक सिलिंडर में अलप आवेशित पृष्ट `DeltaS` है, जो गौसियां पृष्ट है।

गाऊस प्रमेय के अनुसार, पृष्ट से होकर जाने वाला कुल वैघृत फ्लक्स
`oint_(S)A.dS=oint_(I)A.dS+oint_(II)A.ds+oint_(III)A.dS= (sigmaDeltaS)/(epsilon_(0))`
`oint_(II)A_(1).dS+oint_(III)E_(q).dS=(sigmaDeltaS)/(epsilon_(0)) therefore theta=90^(@) therefore cos90^(@)=0`
or `E_(1).DeltaShatn_(1) + E_(2).DeltaShatn_(1)=sigma/(epsilon_(0))DeltaS`
`E_(1)+E_(2)`
`E_(1).hatn_(1)+E_(2).hatn_(2)=sigma/(epsilon_(0))`
`E_(1).(-hatn_(2))+E_(2).hatn_(2)=sigma/(epsilon_(0))`
`(E_(2)-E_(1)).hatn_(2)=sigma/(epsilon_(0))`
`(E_(2)-E_(1)).hatn=sigma/(epsilon_(0))`.....................(i)
`(therefore hatn_(2)=hatn)`= पाश्र्व 1 व 2 की और एकांक सदिश)
चित्र से यह स्पष्ट है की `E_(1)` चालक के अंदर की और है। हम यह भी जानते है की चालक के अंदर वैघृत क्षेत्र शून्य होता है।
`E_(2).hatn=sigma/(epsilon_(0))`
`(E_(2)-hatn).hatn=sigma/(epsilon_(0))hatn`
`E_(2) = sigma/(epsilon_(0))hatn (therefore hatn.hatn=1)`
चालक से ठीक बाहर वैघृत क्षेत्र `=sigma/(epsilon_(0))hatn`
वैघृत क्षेत्र के स्पष्ररिखीय घटक (एक आवेशित पृष्ट से दूसरे आवेशित पृष्ट पर) सतत है, एक बंद लूप का वैघृत क्षेत्र शून्य होता है। माना वैघृत क्षेत्र में ABA एक आवेशित पृष्ट है जिसके केंद्र पर आवेश q है। माना `r_(A)` or `r_(B)` क्रमश: बिंदु A व B पर धनात्मक सदिश है। माना बिंदु P पर वैघृत क्षेत्र E है, अतः `Ecostheta` वैघृत क्षेत्र E का स्पर्शरिखीय घटक है।

`therefore E.dI = Edl.cos theta=(E costheta)dl`
`int_(A)^(B)E.dl = 1/(4piepsilon_(0))q.(1/r_(A)-1/r_(B))`
`int_(A)^(B)E.dl = 1/(4piepsilon_(0))q.(1/r_(B)-1/r_(A))`
`therefore oint_("AaBba")E.dl=int_(A)^(B)E.dl + int_(B)^(A)E.dl`
`=1/(4piepsilon_(0))q.(1/r_(A)-1/r_(B)+1/r_(B)-1/r_(A))`
=0 यदि सिद्ध करना था