यदि `f(x)=|x|`, तब `f(x)` है

Options

A. सभी x के लिए सतत
B. x = 0 पर अवकलनीय
C. x=0 पर न तो सतत है न की अवकलनीय
D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

`f(0)=0`
`underset(xrarr0^(-))lim f(x)=underset(hrarr0)limf(0-h)=underset(hrarr0)limf(-h)=underset(hrarr0)lim|-h|=underset(hrarr0)lim h=0`
`underset(xrarr0^(+))limf(x)=underset(hrarr0)limf(0+h)+underset(hrarr0)limf(h)=underset(hrarr0)lim h=0`
`:.underset(xrarr0^(-))limf(x)=underset(xrarr0^(+))limf(x)=f(0)=0`
अतः `x=0` पर, `f(x)` सभी x के लिए सतत है ।
अब, `Rf'(x)=underset(hrarr0)lim(|0+h|-0)/(h)=1`
`Lf'(x)=underset(hrarr0)lim(|0-h|-0)/(-h)=-1`
अतः `f(x)=|x|,x=0` पर अवकलनीय नहीं है ।